ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ СВОБОДНО НАЧЕРТАННЫМ ГРАФИКОМ

Леднева Е.А.

Одной из тем, не затрагиваемых в стандартных курсах высшей математики и математического анализа, является графическое дифференцирование. Между тем, еще сравнительно недавно при решении технических задач данный метод находил широкое применение в механике, химии и других отраслях знаний. До настоящего времени метод графического дифференцирования входит в лекционный курс дисциплины «Теория механизмов и машин». Он очень удобен для анализа функциональных зависимостей, заданных графическим способом, то есть полученных при помощи различных осциллографов, самописцев и т.д.
Кроме того, знакомство с методом графического дифференцирования является необходимым для студентов математических и физических специальностей. Владение данным методом является показателем общей физико-математической культуры. Академик В.И. Арнольд в известной статье «Математический тривиум» [1] сформулировал сто эталонных задач, составленных как математический минимум студента-физика. И под первым номером идет задача «нарисовать график производной и график интеграла функции, заданной свободно начертанным графиком».
Существует три метода графического дифференцирования: метод касательных, метод хорд и метод приращений. В настоящей работе будет рассмотрен метод касательных как более наглядный и точный, при условии точного построения касательной к графику функции в произвольной точке [2].
Пусть задана некоторая функция   в виде свободно начерченного графика в некоторой системе координат, и аналитическое выражение для нее неизвестно (см. рисунок). Для нее требуется найти ее производную, но так как функция представлена графически, то и производную мы должны найти в виде графика. Такое графическое отыскание производной называется графическим дифференцированием.
Предполагаем, что масштабы по оси абсцисс и по оси ординат одинаковы. Для решения поставленной задачи отложим на отрицательной части оси абсцисс точку Р, так чтобы отрезок ОР был равен единице масштаба (т.е. ОР = 1). Выбираем интересующий нас участок АВ графика функции  , на котором мы хотим построить производную.

Разобьем участок АВ на некоторое количество частей произвольной системой точек с абсциссами  . Каждой точке на оси абсцисс поставим в соответствие точки на графике функции    . В точках   проведем касательные к графику функции. Из полюса Р проведем отрезки  , параллельные соответствующим касательным, где точки   лежат на оси ординат и равны значениям производной в точках  , соответственно. Проведем из точек   прямые, параллельные оси абсцисс, до пересечения с соответствующими перпендикулярами, опущенными из точек   на ось абсцисс. Получим точки  . Соединив эти точки непрерывной линией, мы и получим приближенный график производной функции  . Чтобы получить более точный график производной функции, необходимо дугу АВ разбивать большим количеством точек. Полученные отрезки не обязательно должны быть равны между собой; их размеры нужно брать с таким расчетом, чтобы соответствующие части линии как можно меньше уклонялись от отрезков прямой. Интервал, в котором линия круто и часто извивается, следует разбивать на большее число частей так, чтобы каждая такая часть была достаточно малой.
У данного построения есть строгое обоснование того, что полученный график является графиком производной исходной функции. Когда мы проводим касательную к графику функции  , например, в точке  , соответствующей данной абсциссе   и параллельную ей прямую  , то отрезок   будет выражать значение  производной  . Действительно,
.
Представленная статья может служить в качестве дополнительного источника литературы для студентов, обучающихся по физико-математическим и техническим направлениям, а также по направлению «Педагогическое образование» (профили «Математика» и «Физика»). Описанный материал также не представляет сложности для старшеклассников и может быть рекомендован всем интересующимся математикой.
Литература
1.    Арнольд, В. И. Математический тривиум / В. И. Арнольд //Успехи математических наук. – Т. 46. – Вып. 1 (277). – (1991). – С. 225–232.
2.    Бермант, А. Ф. Краткий курс математического анализа / А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович. – 11-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2005. – 736 с.